Путин прав.
Было государство Русь которое делилось на Малую Русь, Великую Русь, Белую Русь, Червонную Русь и еще есть упоминания о Серебренной Руси. Называлась Киевской Русью потому что столица всей Руси находилась на тот момент в Киеве, по той же причине крещение проходило там же. И уже позже столица переехала в Москву подальше от границы государства.
При захвате столицы все государство переходит под контроль победителя (это знает даже ребенок), а на тот момент на западе ситуация была неспокойной, вот одна из причин переноса столицы. В истории Российской Империи столица также была перевезена из Москвы в город Санкт-Петербург.
Название народа "русский" происходит не от слова Россия а от слова Русь.
Причина переименования Руси в Россию заключается в присоединении множество колоний и народов в них к государству Руси, точно также если отделить все колонии от Великобритании останется лишь Англия. Или как в нашем случае если отделить все колонии (ныне национальные республики) от России останется лишь часть Руси под названием "Великая Русь" слово "великая" означает размер земли, а не то что она лучше всех остальных частей Руси (Белой, Малой - ныне Украина, Червонной - часть восточной Польши и западной Украины и есть еще упоминание о Серебряной - возможно Сербия).
Об остальном можно узнать из видео ниже.